Hiệu của hai véctơ

Sau khi thành thạo phép cộng hai véctơ, chúng ta tiếp tục tìm hiểu phép trừ hai véctơ.

1. Hai véctơ đối nhau

Hai véctơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véctơ đối của $\vec{a}$ được kí hiệu là $-\vec{a}.$

Quy ước, véctơ đối của $\vec{0}$ là $\vec{0}$.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra véctơ đối nhau với véctơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}$.

Nhận xét:

• $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai véctơ đối nhau $\Leftrightarrow \vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$;

• $\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0}$;

• $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai véctơ đối nhau, tức là \(\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}.\)

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng $AB$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm $AB$ khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}.\)

Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$, chứng minh rằng: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.\)

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ đối xứng với $G$ qua $M$. Chứng minh:

1. $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD},$
2. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.$

2. Hiệu của hai véctơ

Hiệu của hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của $\vec{a}$ và véctơ đối của $\vec{b}$, kí hiệu là $\vec{a}-\vec{b}$. \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).\)

Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4.$ Dựng và tính độ dài của véctơ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}, \quad \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}.\)

Ví dụ 6. Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Tính độ dài của các véctơ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}.\)

Ví dụ 7. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}.\)

Ví dụ 8. Cho tứ giác $ABCD$ có $O$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\)

Ví dụ 9. Tam giác $ABC$ có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$ và điểm $O$ tuỳ ý. Chứng minh:

1. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NB} +\overrightarrow{PC} = \vec{0};$
2. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}.$

Ví dụ 10. Cho sáu điểm $A,B,C,D,E,F$. Chứng minh rằng:

1. $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{FB}$.

2. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.

3. $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{FE}=\vec{0}$.

Ví dụ 11. Cho tam giác $ABC$. Hãy xác định điểm $M$ sao cho:

1. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$;

2. $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$.;

3. $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$.

Ví dụ 12. Cho hai điểm $A$ và $B$ phân biệt, có thể tìm được điểm $M$ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không?

1. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$;

2. $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$;

3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.