Tích của một số với một véctơ

Sau khi thành thạo phép cộng và trừ hai véctơ, chúng ta tiếp tục tìm hiểu phép nhân một số thực với một véctơ.

1. Định nghĩa

Cho số thực $ k\ne 0 $ và $ \vec{a}\ne \vec{0} $. Tích của số $k $ với véctơ $ \vec{a}$ là một véctơ, kí hiệu $ k\vec{a} $, xác định như sau:

• Cùng hướng với $ \vec{a} $ nếu $ k>0 $, ngược hướng với $ \vec{a} $ nếu $ k<0 $;

• Độ dài bằng $|k|\cdot|\vec{a}|$.

  Quy ước nếu $ k=0 $ hoặc $ \vec{a} = \vec{0} $ thì $ k\vec{a}=\vec{0}. $

Ví dụ 1. Cho hình vuông $ ABCD $. Dựng điểm $ E, F $ biết \(\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{ AB};\quad\overrightarrow{BF} =- \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}.\)

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC $ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm $ AB, AC $. Tìm số $ k $ trong mỗi trường hợp sau:

• $ \overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AM} $;
• $ \overrightarrow{CB} = k \overrightarrow{MN} $;
• $ \overrightarrow{AM} = k \overrightarrow{BM} $.

2. Tính chất

Với hai số thực $ a,b $ và hai véctơ $ \vec{a}, \vec{b} $, chúng ta có:

• $ k( \vec{a} \pm \vec{b})= k \vec{a} \pm k \vec{b} $;
• $ (k+h) \vec{a} = k \vec{a} + h \vec{a} $;
• $ k(h \vec{a} ) = (hk) \vec{a} = h (k \vec{a} )$;
• $ 1 \vec{a} = \vec{a}; (-1) \vec{a} = - \vec{a} $.

Nhận xét, $ k \vec{a} = \vec{0} $ khi và chỉ khi $ k=0 $ hoặc $ \vec{a} = \vec{0} $.

Ví dụ 3. Cho ba điểm $ A,B,C $, chứng minh:

1. $ 2 \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{BC} = 2 \overrightarrow{AC} $;
2. $ 3(5 \overrightarrow{AC})+ 2\overrightarrow{CB} - 13 \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} $;
3. $ 3( \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{BC}) -2( \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{BC} ) = \overrightarrow{AB}$.

3. Một số ứng dụng

Qui tắc trung điểm

$ I $ là trung điểm $ AB $ khi và chỉ khi $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$, với $ M $ bất kì.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ ABCD $ có tâm $ O $. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}.\)

Qui tắc trọng tâm

$ G $ là trọng tâm tam giác $ABC $ khi và chỉ khi $ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3 \overrightarrow{MG}$, với $ M $ bất kì.

Ví dụ 5. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ E,F $ là trung điểm của $ AB,CD $ và $ O $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng

1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $;
2. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

Ví dụ 6. Cho tam giác $ ABC $ có $ M, N, P $ thuộc các đoạn $ AB,BC,CA $ sao cho $ AB=3AM,BC=3BN,AC=3CP. $ Chứng minh rằng: $ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $

Ví dụ 7. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $ O. $ Chứng minh rằng \(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}.\)

Ví dụ 8. Cho tam giác $ ABC $ với $ G $ là trọng tâm. Gọi $ B’ $ đối xứng với $ B $ qua $ G,G’ $ đối xứng với $ G $ qua $ B $ và $ M $ là trung điểm $ BC. $ Chứng minh rằng:

1. $ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$,
2. $ \overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}),$
3. $ \overrightarrow{MB’}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB} $;
4. $ \overrightarrow{G’A}-5\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=\vec{0}. $

Hướng dẫn.

1. Gọi $ N $ là trung điểm $ AC. $ Ta có \(\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB'}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}).\) Mà $ 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC},2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $ nên \(\overrightarrow{AB'}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.\) Tương tự có \(\overrightarrow{CB'}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}).\) Có \(\begin{align} \overrightarrow{MB'}&=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB'}\\&=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}\\&=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}\\&=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. \end{align}\)

2. Ta có \(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'C}=2\overrightarrow{G'N}=2(\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{BN})=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}\) Mà $ \overrightarrow{G’B}=\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} \Rightarrow 5\overrightarrow{G’B}=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

3. Điều kiện hai véctơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

• Điều kiện cần và đủ để hai véctơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b}\, (\vec{b} \ne \vec{0}) $ cùng phương là có một số thực $ k $ để $ \vec{a} = k \vec{b}. $
• Điều kiện cần và đủ để ba điểm $ A,B,C $ thẳng hàng là có một số thực $ k $ để $ \overrightarrow{AB} =k \overrightarrow{AC}. $

Ví dụ 9. Tam giác $OAB $ có $ M $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ AM= \frac{3}{4} AB $. Qua $ M $ kẻ các đường thẳng song song với $ OB $, $OA $ cắt $ OB, OA $ lần lượt tại $ K,H $. Đặt $ \overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b} $.

1. Biểu thị $ \overrightarrow{OH} $ theo $ \vec{a} $ và $ \overrightarrow{OK} $ theo $ \vec{b} $.
2. Biểu thị $ \overrightarrow{OM} $ theo $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $.

Ví dụ 10. Tam giác $ABC$ có $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai véctơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn. Ta có \(\begin{align} \overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\\ &=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\\ &=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\ &=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\\ &=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v} \end{align}\) Ví dụ 11. Cho tam giác $ABC $ có $ I $ thuộc cạnh $ BC $ sao cho $ 2CI= 3BI $, $ J $ thuộc tia $ BC $ sao cho $ 5JB = 2JC $.

1. Biểu thị $ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AJ} $ theo $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} $;
2. $ G $ là trọng tâm $\Delta ABC$, biểu thị $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AJ}. $

Ví dụ 12. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ I $ là điểm trên $ BC $ kéo dài sao cho $ IB=3IC. $

1. Tính véctơ $ \overrightarrow{AI} $ theo các véctơ $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
2. Gọi $ J,K $ là những điểm trên cạnh $ AC,AB $ sao cho $ \overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC} $ và $ \overrightarrow{KB}=-3\overrightarrow{KA}. $ Tính $ \overrightarrow{JK} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}.$
3. Tính $ \overrightarrow{ BC} $ theo $ \overrightarrow{ AI} $ và $ \overrightarrow{ JK}. $

Hướng dẫn.

1. Có $ \overrightarrow{ IB}=3 \overrightarrow{ IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{ AB}-\overrightarrow{ AI}=3(\overrightarrow{ AC}-\overrightarrow{ AI}) \Leftrightarrow \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}.$
2. Chỉ ra $ \overrightarrow{ AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} $ và $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $ Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
3. Ta có \(\begin{align} & \begin{cases} \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}\\ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} 6\overrightarrow{AI}=9 \overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\\12\overrightarrow{JK}=3\overrightarrow{AB}-8 \overrightarrow{AC}\end{cases} \\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}\\ \overrightarrow{AC}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}\end{cases} \end{align}\)

Trừ từng vế được $ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}. $

Ví dụ 13. Cho tam giác $ABC$ có $ D,E,F $ lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ $ A,B,C $. Hãy phân tích véctơ $ AD $ theo hai véctơ $ AB,AC. $ Chứng minh rằng nếu có $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}=\vec{0} $ thì tam giác $ABC$ đều.

Ví dụ 14. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L $ biết rằng

1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $
3. $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{BC}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}. $

Hướng dẫn.

1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}. $ Vậy $ I $ là điểm đối xứng của điểm $ A $ qua $ B. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $
3. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}. $ Do đó $ \overrightarrow{GK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AL}=2 \overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. $

Ví dụ 15. Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $M$ thỏa mãn $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $ Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.\) Hướng dẫn. Ta có \(\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.\)

Ví dụ 16. Cho hai điểm $ A,B $ và hai số $ \alpha,\beta $ thỏa mãn $ \alpha+\beta\ne0 $.

1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} $
2. Với $ M $ là điểm bất kì thì $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} $

Hướng dẫn.

1. Ta có \(\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{IA}+\beta (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) Do $ A,B $ cố định và hai số $ \alpha,\beta $ không đổi nên véctơ $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} $ không đổi. Vậy tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0}.$
2. Ta có \(\begin{align} \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}&=\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})\\ &=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} +\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}\\ &=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}. \end{align}\)

Ví dụ 17. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Hãy tìm số $ k $ và điểm điểm $ I $ cố định sao cho các đẳng thức sao thỏa mãn với mọi điểm $M$.

1. $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=k\overrightarrow{MI} $
2. $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=k \overrightarrow{MI} $
3. $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=k \overrightarrow{MI} $

Hướng dẫn.

1. Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, thì $ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3 \overrightarrow{MG}. $ Suy ra \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=3( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{MD})=6\overrightarrow{MI}\) trong đó $I$ là trung điểm của $ GD. $
2. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+2 \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. $ Khi đó $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{MI} $
3. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}. $
   Khi đó $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=…=2 \overrightarrow{MI} $

Ví dụ 18. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứnh minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết có $ \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $ nên $ \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}) \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}. $

Mà $ 2\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} $ nên $ 3\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}. $ Điều này chứng tỏ $ A,M,C $ thẳng hàng.

Ví dụ 19. Cho tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn \(|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|\) Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} $ nên \(|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |2\overrightarrow{MA}|=|2\overrightarrow{MI}| \Leftrightarrow MA=MI\) Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường trung trực của $ AI. $

Ví dụ 20. Tìm $ C $ thuộc đoạn $ AB $ sao cho $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $ \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})=-\overrightarrow{MC}.\) Vậy $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

Ví dụ 21. Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véctơ định bởi $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Ví dụ 22. Cho tứ giác $ABCD$ có hai điểm $ M,N $ thay đổi trên cạnh $AB,CD$ sao cho $ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ MN $.

Hướng dẫn. Theo giả thiết có $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}. $ với $ 0\le k\le1. $

Gọi $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BD $ thì \(\begin{align} \overrightarrow{PI}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\ \overrightarrow{PQ}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}) \end{align}\) Suy ra $ \overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} $ hay $ P,I,Q $ thẳng hàng. Mà $ 0\le k\le1 $ nên $ I $ thuộc đoạn $ PQ. $

Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn $ MN $ là đoạn $ PQ. $

Ví dụ 23. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là một điểm di động trên cạnh $ BC. $ Kẻ $ MP,MQ $ lần lượt song song với $ AC,AB $ và cắt $ AB,AC $ tại $ P,Q. $ Dựng cách hình bình hành $ BMPR $ và $ CMQS. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ RS. $

Hướng dẫn. Ta có \(\begin{align} \overrightarrow{AR}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\ \overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM} \end{align}\) Nên $ 2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}. $

Vì $ M $ thuộc đoạn $ BC $ nên $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1-k) \overrightarrow{AC} $ với $ k\in [0,1]. $ Do đó $ \overrightarrow{AI}=(1-k)\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=(1-k)\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{AF} $ với $ E,F $ là trung điểm $ AB,AC. $ Suy ra $ I $ thuộc đoạn $ EF.$