Phương trình lượng giác thường gặp

Phương trình lượng giác thường gặp bao gồm 3 dạng phương trình. Đó là phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối với $ \sin x$ và $ \cos x$; phương trình thuần nhất bậc hai đối với $ \sin x$ và $ \cos x$. Thành thạo ba dạng phương trình này thì các em học sinh có thể tự tin giành được điểm khá trong các kì thi.

Kiến thức cơ bản

1. Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác:

Ta cần chú ý các công thức sau:

$\sin^2x =1 - \cos^2x, \cos^2x = 1 - \sin^2x;$
$\frac{1}{\sin^2x} = 1+\cot^2 x, \frac{1}{\cos^2x} = 1+ \tan^2 x.$

2. Phương trình $a\sin x + b \cos x =c$

Chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$ rồi đặt $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ Ta được phương trình $\cos\alpha \sin x + \sin\alpha \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}},$ hay chính là phương trình $\sin\left(x+\alpha\right) = m$ đã biết cách giải.

3. Phương trình $a \sin^2x + b \sin x \cos x + c \cos^2x =d$

TH1: $\cos x = 0$ thì $\sin x = \pm 1$, thay vào phương trình để kiểm tra.
TH2: $\cos x \ne 0$, chia hai vế cho $\cos^2x$, đưa về phương trình ẩn $\tan x.$

Bài tập

Bài 1. Giải phương trình lượng giác sau:

$2 \sin ^2 x-\sin x-1=0$
$4 \sin ^2 x+12 \sin x-7=0$
$2 \sqrt{2} \sin ^2 x-(2+\sqrt{2}) \sin x+1=0$
$-2 \sin ^3 x+\sin ^2 x+2 \sin x-1=0$
$2 \cos ^2 x-3 \cos x+1=0$
$2 \cos ^2 x+3 \cos x-2=0$
$2 \cos ^2 x+(\sqrt{2}-2) \cos x=\sqrt{2}$
$4 \cos ^2 x-2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \cos x=\sqrt{6}$
$\tan ^2 x+2 \sqrt{3} \tan x+3=0 . \quad$
$2 \tan ^2 x-2 \sqrt{3} \tan x-3=0$
$\tan ^2 x+(1-\sqrt{3}) \tan x-\sqrt{3}=0$
$3 \cot ^2 x+2 \sqrt{3} \cot x+1=0$
$\sqrt{3} \cot ^2 x-(1+\sqrt{3}) \cot x+1=0$
$\sqrt{3} \cot ^2 x+(1-\sqrt{3}) \cot x-1=$
$6 \cos ^2 x+5 \sin x-2=0$
$2 \cos ^2 x+5 \sin x-4=0$
$3-4 \cos ^2 x=\sin x(2 \sin x+1)$
$-\sin ^2 x-3 \cos x+3=0$
$-2 \sin ^2 x-3 \cos x+3=0$
$2 \cos ^2 2 x+5 \sin 2 x+1=0$
$3 \sin ^2 x+2 \cos ^4 x-2=0$
$4 \sin ^4 x+12 \cos ^2 x=7$
$4 \cos ^4 x=4 \sin ^2 x-1$
$4 \sin ^4 x+5 \cos ^2 x-4=0$
$2 \cos 2 x-8 \cos x+5=0$
$1+\cos 2 x=2 \cos x$
$9 \sin x+\cos 2 x=8$
$2+\cos 2 x+5 \sin x=0$
$3 \sin x+\cos 2 x=2$
$2 \cos 2 x+8 \sin x-5=0$
$2 \cos ^2 2 x+5 \sin 2 x+1=0$
$5 \cos x-2 \sin \frac{x}{2}+7=0$
$3 \cos ^2 x-2 \cos 2 x=3 \sin x-1$
$\cos 4 x+12 \sin ^2 x-1=0$
$\cos 4 x-2 \cos ^2 x+1=0$
$16 \sin ^2 \frac{x}{2}-\cos 2 x=15$
$\cos 2 x+2 \cos x=2 \sin ^2 \frac{x}{2}$
$\cos 2 x-3 \cos x=4 \cos ^2 \frac{x}{2}$
$1+\cos 4 x-2 \sin ^2 x=0$
$8 \cos ^2 x-\cos 4 x=1$
$6 \sin ^2 3 x-\cos 12 x=4$
$5(1+\cos x)=2+\sin ^4 x-\cos ^4 x$

Bài 2. Giải phương trình lượng giác sau:

$\sin x+\sqrt{3} \cos x=1$
$\sqrt{3} \sin x+\cos x=-1$
$\sqrt{3} \cos x-\sin x=\sqrt{2}$
$\sin x+\sqrt{3} \cos x=2$
$\sqrt{3} \sin 3 x-\cos 3 x=\sqrt{2}$
$\cos 7 x-\sqrt{3} \sin 7 x=-\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin x=2$
$\sin \left(\frac{\pi}{2}+2 x\right)+\sqrt{3} \sin (\pi-2 x)=1$
$\sqrt{3} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}$
$4 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2 \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=3 \sqrt{2}$
$\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2+\sqrt{3} \cos x=2$
$\sqrt{3} \sin ^2 x+\frac{1}{2} \sin 2 x=\sqrt{3}$
$\sin x(\sin x-1)=\cos x(1-\cos x)$
$\sin x(\sqrt{3}-\sin x)=\cos x(1+\cos x)$
$\sqrt{3} \sin x+\cos x=2 \sin \frac{\pi}{12}$
$\cos x=\sqrt{2} \sin 2 x-\sin x$
$\sin 3 x-\sqrt{3} \cos 3 x=2 \sin 2 x$
$\sin x+\cos x=2 \sqrt{2} \sin x \cos x$
$2 \cos 3 x+\sqrt{3} \sin x+\cos x=0$
$(\sin x+\cos x)^2-\sqrt{3} \cos 2 x=1+2 \cos x$
$\sqrt{2} \cos 2 x+\sin x-\cos x=0$
$\sin 3 x+\sqrt{3} \cos 3 x-2 \sin x=0$
$\cos x-\sqrt{3} \sin x=2 \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)$
$2 \cos ^2 \frac{x}{2}+\sqrt{3} \sin x=1+2 \sin 3 x$

Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

$2 \sin ^2 x+3 \sqrt{3} \sin x \cos x-\cos ^2 x=2$
$\sin ^2 x+\sin x \cos x-2 \cos ^2 x=0$
$\cos ^2 x-\sqrt{3} \sin 2 x=1+\sin ^2 x$
$2 \cos ^2 x-3 \sqrt{3} \sin 2 x+4=4 \sin ^2 x$
$4 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x-6 \cos ^2 x=0$
$\cos ^2(3 \pi-2 x)-\sqrt{3} \cos \left(4 x-\frac{9 \pi}{2}\right)=1+\sin ^2 2 x$