Bài tập Hàm số lượng giác

Trong bài này, các em học sinh cần nắm vững ba dạng toán sau về hàm số lượng giác:

• Tìm tập xác định của một hàm số lượng giác;
• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác;
• Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác.

1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Các em cần chú ý những điều sau:

• $ y= \tan x $ xác định $ \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$;
• $ y= \cot x $ xác định $ \Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x\ne + k\pi$;
• $\dfrac{A}{B}$ xác định khi $B\ne 0$, $\sqrt{A}$ xác định khi $A\ge 0$.

Chú ý: $ \sin x = 1, \sin x =-1, \cos x =1, \cos x =-1 $ khi nào?

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

• $y=\cos \dfrac{4}{x}$.
• $y=\cos \sqrt{2 x}$.
• $y=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$.
• $y=\tan \left(5 x+\dfrac{2 \pi}{3}\right)$.
• $y=\dfrac{2 \tan 2 x-5}{\sin 2 x+1}$
• $y=\dfrac{\tan 2 x}{1+\cos ^2 x}$.
• $y=\dfrac{\tan 2 x}{\sin x-1}$.
• $y=\sqrt{\dfrac{\cos x+4}{\sin x+1}}$.
• $y=\sqrt{\dfrac{\cos x-2}{1-\sin x}}$.
• $y=\sqrt{\dfrac{2+\sin x}{\cos x+1}}$.
• $y=\dfrac{\cot 2 x}{\sqrt{1-\cos ^2 x}}$.
• $y=\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\cos x}}$.
• $y=\dfrac{\sqrt{x}}{\sin \pi x}$.
• $y=\dfrac{\cos 2 x}{1-\sin x}+\tan x$.
• $y=\dfrac{x^2+1}{x \cos x}$.
• $y=\dfrac{\tan 2 x}{\sqrt{\sin x+1}}$.

2. Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số $y= f(x)$, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số lượng giác;
2. Nếu $\forall x \in D$ ta có $-x \in D $ thì chuyển sang bước 3, nếu không thì kết luận hàm số không chẵn, không lẻ;
3. Tính $f(-x)$ và so sánh với $ f(x) $:
   • $f(-x)=f(x) \Rightarrow f(x)$ là hàm số chẵn;
   • $f(-x)=-f(x) \Rightarrow f(x)$ là hàm số lẻ;
   • $f(-x)\ne \pm f(x)$ thì kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

1. $y=f(x)=\tan x+\cot x$
2. $y=f(x)=\tan ^7 2 x \cdot \sin 5 x$
3. $y=f(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{9 \pi}{2}\right)$
4. $y=f(x)=-2 \cos ^3\left(3 x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
5. $y=f(x)=\sin ^3(3 x+5 \pi)+\cot (2 x-7 \pi)$
6. $y=f(x)=\cot (4 x+5 \pi) \tan (2 x-3 \pi)$
7. $y=f(x)=\sin \sqrt{9-x^2}$
8. $y=f(x)=\sin ^2 2 x+\cos 3 x$

3. GTLN GTNN của hàm số lượng giác

Sử dụng tập giá trị của các hàm số lượng giác:

• $ -1 \leqslant \sin \square \leqslant 1 $
• $ -1 \leqslant \cos \square \leqslant 1 $

Chú ý cần đưa về một hàm số lượng giác để đánh giá.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1. $y=5 \sqrt{3+\cos 2 x}+4$.
2. $y=\sqrt{1-\cos 4 x}$.
3. $y=3 \sin ^2 2 x-4$.
4. $y=4-5 \sin ^2 2 x \cos ^2 2 x$.
5. $y=3-2|\sin 4 x|$.
6. $y=\sqrt{4-2 \sin ^5 2 x}-8$.
7. $y=\dfrac{4}{1+3 \cos ^2 x}$
8. $y=\dfrac{4}{\sqrt{5-2 \cos ^2 x \sin ^2 x}}$.
9. $y=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{4-2 \sin ^2 3 x}}$.
10. $y=\dfrac{3}{3-\sqrt{1-\cos x}}$.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1. $y=-\sin ^2 x-\cos x+2$
2. $y=\sin ^4 x-2 \cos ^2 x+1$
3. $y=\cos ^2 x+2 \sin x+2$
4. $y=\sin ^4 x+\cos ^4 x+4$
5. $y=\sqrt{ 2-\cos 2 x+\sin ^2 x}$
6. $y=\sin ^6 x+\cos ^6 x$
7. $y=\sin 2 x+\sqrt{3} \cos 2 x+4$
8. $y=\cos ^2 x+2 \cos 2 x$
9. $y=2 \sin ^2 x-\cos 2 x$
10. $y=2 \sin 2 x(\sin 2 x-4 \cos 2 x)$
11. $y=3 \sin ^2 x+5 \cos ^2 x-4 \cos 2 x$
12. $y=4 \sin ^2 x+\sqrt{5} \sin 2 x+3$
13. $y=(2 \sin x+\cos x)(3 \sin x-\cos x)$
14. $y=\sin x+\cos x+2 \sin x \cos x-1$.