Sloth 
Sau khi biết các quy ước vẽ hình biểu diễn của hình học không gian và các tính chất thừa nhận, các em cần luyện tập thật thành thạo 3 bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng.
Bài toán 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $
Phương pháp: Ta chỉ ra hai điểm chung khác nhau} của hai mặt phẳng đã cho. Cần lưu ý những điều sau:
- Cho mặt phẳng $ (ABC) $ thì các điểm $ A,B,C $ thuộc mặt phẳng $(ABC);$ các đường thẳng $ AB,AC,BC $ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, nên mọi điểm thuộc những đường thẳng này đều thuộc mặt phẳng $ (ABC). $
- Hai đường thẳng chỉ cắt nhau được nếu cùng thuộc một mặt phẳng nào đó, nên khi gọi giao điểm của hai đường thẳng ta phải xét trong một mặt phẳng cụ thể.
- Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta chú ý tới tên gọi của chúng.
- Thường phải mở rộng} mặt phẳng, tức là kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng đó.
Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I $ là trung điểm của $ BD. $ Gọi $ E,F $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD,CBD. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IEF) $ và $ (ABC). $
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $. Đáy $ABCD$ có $ AB $ cắt $ CD $ tại $ E, AC$ cắt $ BD $ tại $ F. $ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SCD),(SAC) $ và $ (SBD). $ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SEF) $ và $ (SAD), (SBC). $
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC $. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (ADM) $ và mặt phẳng $ (BCD) $.
Ví dụ 4. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC,N $ thuộc miền trong tam giác $ ABD. $ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (BMN) $ và mặt phẳng $ (ACD) $.
Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABD,N $ thuộc miền trong tam giác $ ACD. $ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $ (AMN) $ và mặt phẳng $ (BCD) $; mặt phẳng $ (DMN) $ và $ (ABC) $.
Ví dụ 6. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BC. $ Lấy $ K $ thuộc $ BD $ sao cho $ KD<KB. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IJK) $ và $ (ACD),(IJK) $ và $ (ABD). $
Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $ I,J $ lần lượt là trung điểm của $ AD,BC. $ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $ (IBC) $ và $ (JAD). $ Gọi $ M,N $ là hai điểm trên cạnh $ AB,AC. $ Xác định giao tuyến của $ (IBC) $ và $ (DMN)$.
Ví dụ 8. Cho tứ diện $ SABC $. Gọi $ M, N $ lần lượt là hai điểm trên cạnh $ AB $ và $ BC $ sao cho $ MN $ không song song với $ AC $. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (ABC) $; $ (SMN) $ và $ (SAC) $; $ (SAN) $ và $ (SMC) $.
Ví dụ 9. Tứ diện $ SABC $. Gọi $ K, M $ lần lượt là hai điểm trên cạnh $ SA $ và $ SC $ sao cho $ KM $ không song song $ AC $. Gọi $ N $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $ (SAN) $ và $ (ABM) $; $ (BKM) $ và $ (ABC) $.
Ví dụ 10. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành tâm $ O $. Lấy điểm $ M $ trên cạnh $ SA $, $ N $ là trung điểm $ CD $. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $; $ (BMN) $ và $ (SAD) $; $ (MCD) $ và $ (SBD) $.
Ví dụ 11. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SC $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (ABCD),(SAB),(SAD)$ và $ (SAC) $.
Ví dụ 12. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SO $. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $ (MNP) $ với các mặt phẳng $ (SAB),(SAD),(SBC) $ và $ (SCD).$
Bài toán 2. Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $ (P) $.
Phương pháp: Ta chỉ ra một đường thẳng $ a $ nào đó của $ (P) $ mà $ d\cap a=M $ thì $ M $ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $ (P). $
Chú ý: Nếu chưa tìm được đường thẳng $ a $ ngay thì ta chọn một mặt phẳng $ (Q) $ nào đó chứa $ d, $ khi đó giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chính là đường thẳng $ a $ cần tìm.
Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ là trung điểm $ AD, N $ thuộc cạnh $ AC $ sao cho $ AN>CN. $ Xác định giao điểm của $ CD $ và mặt phẳng $ (BMN) $.
Ví dụ 2. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ là trung điểm $ AD, E $ thuộc miền trong tam giác $ ACD. $ Xác định giao điểm của $ AC, CD $ với mặt phẳng $ (BMN) $.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ M $ thuộc miền trong tam giác $ ABC,N $ thuộc miền trong tam giác $ ABD. $ Xác định giao điểm (nếu có) của $ CD $ với mặt phẳng $ (BMN) $.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABC$, trên cạnh $ SA $ lấy điểm $ M, $ trên cạnh $ SC $ lấy điểm $ N $ sao cho $ MN $ không song song với $ AC. $ Giả sử $ O $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giao điểm của mặt phẳng $ (OMN) $ với các đường thẳng $ AC,BC $ và $ AB$.
Ví dụ 5. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BC. $ Giả sử $ K $ là một điểm trên cạnh $ BD $ sao cho $ KB<KD. $ Tìm giao điểm của các đường thẳng $ CD,AD $ với mặt phẳng $ (MNK)$.
Ví dụ 6. Cho tứ diện $ ABCD, $ trên cạnh $ BC,AD,CD $ lần lượt lấy các điểm $ M,N,K $. Xác định giao điểm của $ MN $ và mặt phẳng $ (ABK)$.
Ví dụ 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Trên cạnh $ SA $ lấy điểm $ M, $ trên cạnh $ SB $ lấy điểm $ N $. Xác định giao điểm của $ SO $ mà mặt phẳng $ (MNC) $. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAD) $ và $ (MNC)$. Hướng dẫn. Xét trong tam giác $ SBD $, nếu $ NE\parallel BD $ thì gọi $ I $ là giao điểm của $ NE $ và $ SD, $ ngược lại thì gọi $ I $ là giao điểm của $ NE $ và $ BD. $
Ví dụ 8. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N $ là hai điểm trên cạnh $ AC,AD $ và $ O $ là điểm thuộc miền trong tam giác $ BCD. $ Tìm giao điểm của $ MN $ và $ (ABO); $ giao điểm của $ AO $ và $ (BMN). $
Ví dụ 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm trên cạnh $ SC. $ Tìm giao điểm của $ AM $ và $ (SBD). $ Giả sử $ N $ là một điểm trên cạnh $ BC, $ xác định giao điểm của $ SD $ và mặt phẳng $ (AMN). $
Bài toán 3. Xác định giao tuyến của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng.
Phương pháp: Có hai cách chính để tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng $(\alpha)$:
- Cách 1: Phương pháp giao tuyến gốc (Trace method).
- Xác định giao tuyến $ d $ của mặt phẳng $(\alpha)$ với một mặt $ \mathcal{H} $ của hình chóp (thường là với mặt đáy).
- Tìm các giao điểm của giao tuyến $ d $ với các cạnh, đường chéo của mặt $ \mathcal{H} $.
- Dựa vào các giao điểm này và giao tuyến $ d, $ tìm tiếp các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với những mặt còn lại của hình chóp.
- Cách 2: Phương pháp phép chiếu xuyên tâm (Inner Projection Method).
- Chọn một tam giác trên mặt phẳng $(\alpha)$ làm tam giác cơ sở và xác định hình chiếu của nó lên mặt đáy qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp.
- Xác định các giao điểm} của tam giác hình chiếu với các cạnh, đường chéo của đáy.
- Dựa vào quan hệ liên thuộc, tìm các điểm trên mặt phẳng $(\alpha)$ tương ứng với các điểm ở dưới mặt đáy.
Phương pháp giao tuyến gốc
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy không là hình thang. Giả sử $ M $ là một điểm trên $ SD $, xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM)$.
Hướng dẫn.
- Rõ ràng rằng giao tuyến của mặt phẳng $ (ABM)$ với mặt đáy $ (ABCD)$ là đường thẳng $AB$, nên chúng ta lựa chọn đường thẳng $AB$ làm giao tuyến gốc.
- Tiếp theo, ta xác định các giao điểm của đường thẳng $AB$ với các cạnh của đáy, nếu không được thì sẽ sử dụng đến giao điểm với đường chéo. Vì tứ giác $ ABCD$ không là hình thang nên kéo dài hai đường thẳng $ AB$ và $ CD$ thì chúng sẽ cắt nhau, giả sử là điểm $ I$.
- Lúc này, đường thẳng $ IM$ nằm trong mặt phẳng $ (SCD)$ nên nó sẽ cắt được đường thẳng $ SC$, giả sử cắt tại điểm $ N$.
- Rõ ràng, mặt phẳng $ (ABM)$ lần lượt cắt các mặt của hình chóp $S.ABCD$ theo các giao tuyến tạo thành một tứ giác là $ AMNB$ nên thiết diện chính là tứ giác $ AMNB.$
Ví dụ 2. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N $ là trung điểm của $ AB,CD. $ Giả sử $ P $ là một điểm nằm trên cạnh $ AD $ nhưng không là trung điểm. Xác định thiết diện của mặt phẳng $ (MNP) $ và tứ diện?
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ I,J $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ ABC $ và $ ACD. $ Trên cạnh $ AB $ lấy điểm $ K $ sao cho $ AK>BK. $ Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $ (IJK)$.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có điểm $ M $ là trung điểm $ SC,N $ là một điểm trên cạnh $ SD $ sao cho $ SN<DN. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ AMN$.
Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $ và $ SA. $ Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $ (MNP)$.
Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ CD,BC $ và $ SB. $ Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $ (MNP)$.
Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ E,F $ lần lượt là giao điểm của $ MN $ với $ AB $ và $ AD. $ Trong mặt phẳng $ (SAB) $ gọi $ Q=PE\cap SA, $ trong mặt phẳng $ (SAD) $ gọi $ R=QF\cap SD. $ Thiết diện là ngũ giác $ MNPQR. $
Ví dụ 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD. $ Trên đoạn $ SO $ lấy điểm $ P $ sao cho $ SP>OP. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (MNP)$. Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ E,F,G $ lần lượt là giao điểm của $ MN $ với $ AB,AD,AC. $ Trong mặt phẳng $ (SAC) $ gọi $ J= GP\cap SA, $ trong $ (SAB) $ gọi $ K=JE\cap SB, $ trong $ (SAD) $ gọi $ I=JF\cap SD. $ Thiết diện là ngũ giác $ MNIJK. $
Ví dụ 8. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD $ và $ M $ là trung điểm cạnh $ SD. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (AGM)$. Ví dụ . Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD, H$ là một điểm thuộc cạnh $ SA $ sao cho $ SH>AH. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (CGH). $ Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ SD,E=HM\cap AD,K=CE\cap AB. $ Thiết diện là tứ giác $ CMHK. $
Ví dụ . Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD, H$ là một điểm thuộc cạnh $ SA $ sao cho $ SH<AH. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (CGH). $ Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ SD,E=HM\cap AD,F=CE\cap AB,K=HF\cap SB. $ Thiết diện là tứ giác $ CMHK. $
Phương pháp đường gióng
Ví dụ . Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ C’ $ là một điểm trên cạnh $ SC. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABC’)$. Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ O$ là giao điểm của $AC$ và $BD, $ trong mặt phẳng $ (SAC) $ gọi $ I$ là giao điểm của $SO$ và $AC’, $ trong mặt phẳng $ (SBD) $ gọi $ D’$ là giao điểm của $BI$ và $ SD. $ Thiết diện là tứ giác $ ABC’D’. $
Ví dụ . Cho hình chóp $S.ABCD$ có ba điểm $ M,N,P $ lần lượt thuộc $ SA,SB,SC. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (MNP). $ Ví dụ . Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ SCD. $ Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM). $ Ví dụ . Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành và $ M $ là trung điểm $ SB. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (AMD)$. Ví dụ . Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ SCD. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM)$. Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (SCD) $ gọi $ E=SM\cap CD, $ trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ F=AC\cap BE, $ trong mặt phẳng $ (SBE) $ gọi $ I=BM\cap SF, $ trong mặt phẳng $ (SAC) $ gọi $ N=AI\cap SC, $ trong mặt phẳng $ (SCD) $ gọi $ H=MN\cap SD. $ Thiết diện là tứ giác $ ABNH. $
Hướng dẫn sử dụng Jekyll!